Sådan finder Radius Med Chord længder og Arc Længder

Mange geometri problemer bede løseren til at beregne radius af en cirkel fra givet oplysninger om cirklen, såsom bue længder, akkord længder og arc vinkler. Mens der er eksplicitte løsninger på mange af disse problemer i tilfælde, hvor længden af ​​en akkord og dens tilsvarende bue er kendte og radius er ukendt, kun en implicit defineret løsning er mulig. Du kan stadig bruge Taylorrækken tilnærmelse af sinus til en vinkel for at få en omtrentlig svar, dog.

Instruktioner

• Tegn en lige linje fra midten af ​​cirklen til den nøjagtige midtpunktet af akkord og Arc bruge din lineal. Længden af ​​denne linje er lig med radius af en cirkel og er vinkelret på korden. Mærk en af ​​de vinkler, der dannes ved denne linje og en af ​​buens radius "x".

• Opsætning ligninger vedrørende vinklen x, radius længden "R", kordelængden "C" og lysbuelængden "A." Sinus af x er lig med det modsatte i løbet hypotenusen i en trekant bestående af linjen du har tegnet, buens radius og halvdelen af ​​kordelængden, så sin x = C / 2R. Lysbuen vinkel er lig med buelængden divideret med radius, så vinklen X, som er halvdelen af ​​buevinkel s foranstaltning, er lig med halvdelen af ​​buelængden divideret med radius eller A / 2R.

• Kombiner de to ligninger udledt i det forrige trin for at fjerne X, så kun den variable R og de kendte længder A og C. Du ved, at R * sin x = C / 2, og du kan erstatte "A / 2R" for x at få ligningen R * sin (A / 2R) = C / 2. Det er implicit løsning for radius af cirklen, i betragtning af buelængden og kordelængde.

• Anslået sin (A / 2R) ved hjælp af de to første angår Taylor serie tilnærmelse af sinus: x - (x ^ 3/6). Sin (A / 2R) er omtrent lig med A / 2R - 1/6 * (A / 2R) ^ 3.

• Sæt værdien fra det foregående trin i den implicitte opløsningen fra trin 3 til at få ligningen R * (A / 2R - 1/6 * (A / 2R) ^ 3) = C / 2. Dette forenkler til (A / 2 - C / 2) * R ^ 2 = A ^ 3/48. Løsning til F renter ligningen R ^ 2 = (A ^ 3 / (24 * (A -. C)) Hvis buelængden er 4, og akkord længde er 3.5, radius kvadreret er lig med 4 kubik divideret med 12, eller 5.33. Kvadratroden af ​​5,33 er 2,31, hvilket er længden af ​​radius.